듀레이션(Duration)은 금리 변동에 따른 채권 가격 변화를 측정하는 가장 기본적인 지표입니다. 하지만 현실의 채권 시장에서는 한계가 있습니다.
듀레이션은 금리와 가격 사이의 관계를 직선(선형)으로 근사합니다. 다시 말해, 금리가 1% 변할 때 가격이 일정한 양만큼 변한다고 가정하는 것입니다.
가격 변동 ≈ -D × Δy
그러나 실제로 채권의 가격-금리 관계는 곡선(볼록한 형태)입니다. 이는 다음을 의미합니다:
금리 변동이 클수록 선형 근사의 오차가 커집니다. 특히 큰 폭의 금리 변동이 발생했을 때, 듀레이션만으로는 실제 가격 변화를 정확히 예측할 수 없습니다.
금리가 현재 수준에서 크게 변할수록, 선형 근사(빨간 점선)와 실제 곡선(초록색) 사이의 차이가 증가합니다.
컨벡시티(Convexity)는 채권의 가격-금리 곡선의 곡률(curvature)을 측정합니다. 듀레이션의 부족함을 보완하는 2차 보정항입니다.
ΔP/P ≈ -D × Δy + ½ × C × (Δy)²
이 공식은 테일러 전개(Taylor expansion)에 기반합니다. 금리 변화가 작을 때는 첫 번째 항이 지배적이지만, 금리 변화가 클 때는 두 번째 항(컨벡시티)이 중요한 역할을 합니다.
양의 컨벡시티는 채권 보유자에게 유리합니다. 금리가 하락하면 가격 상승이 더 크고, 금리가 상승하면 가격 하락이 더 작기 때문입니다.
모든 채권이 같은 수준의 컨벡시티를 가지지는 않습니다. 채권의 특성에 따라 컨벡시티가 달라집니다.
| 요인 | 영향 | 이유 |
|---|---|---|
| 만기 (Maturity) | 길수록 컨벡시티 ↑ | 장기 채권은 현금흐름이 더 멀리 떨어져 있어 금리 변화에 더 비선형으로 반응 |
| 쿠폰 (Coupon) | 낮을수록 컨벡시티 ↑ | 낮은 쿠폰 채권은 만기 상환금의 비중이 커서 현금흐름 분산이 크고, 금리 변화에 더 민감 |
| 신용등급 | 높을수록 컨벡시티 ↑ | 신용위험이 낮으면 순수 금리 효과가 더 명확하게 드러남 |
콜옵션이 내장된 채권(Callable Bond)은 특별한 주의가 필요합니다:
음의 컨벡시티를 가질 수 있습니다. 금리가 하락하면 발행사가 채권을 조기 상환할 가능성이 높아져서, 채권 가격 상승이 제한됩니다. 반대로 금리가 상승하면 가격 하락이 더 클 수 있습니다.
다음 두 채권을 비교해봅시다 (동일한 수정듀레이션 = 5):
| 채권 | 만기 | 쿠폰 | 수정듀레이션 | 컨벡시티 |
|---|---|---|---|---|
| 채권 A | 5년 | 5% | 5 | 30 |
| 채권 B | 20년 | 1% | 5 | 120 |
채권 B는 훨씬 높은 컨벡시티를 가지므로, 금리의 큰 변동이 예상될 때 더 유리한 특성을 가집니다.
채권 특성:
시나리오: 금리가 2% 하락하여 1%가 되는 경우
① 듀레이션만 사용한 추정:
② 컨벡시티를 포함한 추정:
③ 실제 가격 (현금흐름 재할인):
결론: 듀레이션만 사용하면 4.8의 오차, 컨벡시티를 포함하면 0.2의 오차로 실제 가격에 훨씬 더 가깝습니다.
조건:
문제: 듀레이션만 사용한 가격변동 추정과 컨벡시티를 보정한 가격변동 추정을 각각 계산하고, 그 차이를 설명하세요.
① 듀레이션만 사용:
ΔP/P = -D × Δy = -7 × 1 = -7.0%
② 컨벡시티 보정:
ΔP/P = -7 × 1 + ½ × 60 × (1)²
ΔP/P = -7 + 30 = 23%
= -7.0 + 3.0 = -4.0%
③ 해석: 금리 상승 시 컨벡시티의 긍정적 효과로 가격 하락이 3.0%p 완화됩니다. 듀레이션만 사용하면 -7%, 컨벡시티를 포함하면 -4%의 손실이 예상됩니다.
조건:
문제: 금리가 2% 하락할 때, 듀레이션만 사용한 추정과 컨벡시티 보정 추정의 차이가 얼마나 크게 나타나는지 계산하세요.
① 듀레이션만 사용:
ΔP/P = -D × Δy = -7 × (-2) = 14.0%
② 컨벡시티 보정:
ΔP/P = -7 × (-2) + ½ × 60 × (-2)²
ΔP/P = 14.0 + 0.5 × 60 × 4
ΔP/P = 14.0 + 12.0 = 26.0%
③ 해석: 금리 하락 시 컨벡시티의 이득이 매우 큽니다! 듀레이션만으로는 14%의 이득을 예상하지만, 실제로는 26%의 이득을 얻습니다. 차이는 12.0%p입니다.
조건:
문제: 금리가 3% 상승하거나 3% 하락하는 두 시나리오에서 각 채권의 가격 변동을 추정하고, 어느 채권이 더 유리한지 설명하세요.
① 금리 3% 상승 시:
채권 A: ΔP/P = -5 × 3 + ½ × 30 × 9 = -15 + 13.5 = -1.5%
채권 B: ΔP/P = -5 × 3 + ½ × 80 × 9 = -15 + 36 = +21%
② 금리 3% 하락 시:
채권 A: ΔP/P = -5 × (-3) + ½ × 30 × 9 = 15 + 13.5 = 28.5%
채금 B: ΔP/P = -5 × (-3) + ½ × 80 × 9 = 15 + 36 = 51%
③ 결론: 채권 B는 높은 컨벡시티로 인해 금리 상승 때 손실이 작고 (-1.5%), 금리 하락 때 이득이 큽니다 (51%). 같은 듀레이션이라도 금리 변동이 크다면 높은 컨벡시티 채권이 훨씬 유리합니다.